On commence par montrer la première inégalité :

\[ \begin{align} \frac{(m+n)!}{(m-n)!} &= (m+n)(m+n-1) \cdots (m-n+1) \\ &\ge 2n \cdot (2n-1) \cdots 1 \\ &\ge 2n \cdot (2n-2) \cdots 2 = 2^n n! \end{align} \]

Supposons maintenant \( m \) fixé et montrons l'autre inégalité par récurrence sur \( n \) :

Cas de base (\( n = 1 \)) : \[ \frac{(m+1)!}{(m-1)!} = m(m+1) = m^2 + m \]

Hypothèse de récurrence : Supposons que pour un entier \( k \) avec \( 1 \le k \le m-1 \) : \[ \frac{(m+k)!}{(m-k)!} \le (m^2 + m)^k \]

Pas de récurrence : Alors pour \( k+1 \) : \[ \begin{align} \frac{(m+k+1)!}{(m-k-1)!} &= (m+k+1)(m-k) \cdot \frac{(m+k)!}{(m-k)!} \\ &\le (m^2 + m) \cdot (m^2 + m)^k \\ &= (m^2 + m)^{k+1} \end{align} \]

Par conséquent, l'inégalité est vérifiée pour tout \( n \) par récurrence.

Solution du deuxième exo !